Asbæk, le fils des galeristes Patricia et Jacob Asbæk, est diplômé du Statens Teaterskole du Danemark à l'été 2008. Il est surtout connu pour son rôle de spin doctor troublé Kasper Juul dans le drame politique télévisé danois Borgen, qui est son plus grand rôle à ce jour. En 2009, il a joué le soldat David Grüner dans un épisode de la deuxième saison d'une autre série télévisée danoise, Forbrydelsen.

Il a été parmi les récipiendaires du Shooting Stars Award au Festival international du film de Berlin en 2011. Le 10 mai, il était co-animateur du Concours Eurovision de la chanson 2014 à Copenhague, avec Lise Rønne et Nikolaj Koppel. Certains critiques ont commenté négativement les blagues obscures partagées par les présentateurs tout au long de l'émission télévisée.