Sovyet Rusya'nın Smolensk Guberniyası'na bağlı Vyazma şehrinde, sıradan bir işçi ailesinde doğdu. RSFSC Onur Sanatçısı (1958), RSFSC Halk Sanatçısı (1966), SSCB Halk Sanatçısı (1973). Babası Dmitriy Filippoviç Papanov, annesi Polonyalı Elena Boleslavovna Roskovskaya'ydı. 1920'lerin sonunda Papanov ailesi Moskova'ya taşındı ve Anatoliy birinci sınıfa başladı. 1939'da okulu bitirdikten sonra Papanov, 2. Moskova Rulman Fabrikası'nın onarım atölyelerinde dökümcü olarak işe girdi. Fabrikanın "Kauçuk" kulübündeki tiyatro stüdyosunda amatör sanat etkinliklerine katıldı. Savaş başlayınca cepheye gitti ve Güneybatı cephesinde bacağından ağır yaralandı. Ardından terhis edildi ve 1942 sonbaharında üçüncü grup malul olarak Moskova'ya, anne babasının yanına döndü. A.V. Lunaçarski Devlet Tiyatro Sanatları Enstitüsü'nün oyunculuk fakültesine girdi.

1946'da enstitüyü bitirdikten sonra sınıf arkadaşlarıyla birlikte Klaipeda'da yeni bir tiyatro kurmaya gitti; burada Ekim Devrimi'nin otuzuncu yıl dönümü için sahnelenen "Genç Muhafızlar" oyununda Sergey Tyulenin rolüyle ilk tiyatro rolünü oynadı. 1948'den itibaren Moskova'daki Satir Tiyatrosu'nun oyuncusuydu. 1987'de Maksim Gorki'nin "Sonuncular" oyununu sahneye koydu. 1967'de ünlü "Nu, pogodi!" çizgi dizisinde ilk kez Kurt'u seslendirdi ve birçok nesil çocuğun idolü oldu. 3 Ağustos 1987 - oyuncunun hayatındaki son kare, Karelya'da "53'ün Soğuk Yazı" filminin çekimlerinde. Aynı günün akşamı Papanov Moskova'ya gitti. Anatoliy Dmitriyeviç, Moskova'daki dairesinde soğuk duş alırken kalbi durarak hayatını kaybetti. Oyuncunun cenazesi 11 Ağustos'ta Moskova'daki Novodeviçi Mezarlığı'nda (10. parsel) toprağa verildi.