Народився в місті Вязьма, Смоленська губернія, Радянська Росія, у простій робітничій сім'ї. Заслужений артист РРФСР (1958), Народний артист РРФСР (1966), Народний артист СРСР (1973). Батько — Дмитро Пилипович Папанов, мати — полька Олена Болеславівна Росковська. Наприкінці 1920-х років родина Папанових переїхала до Москви, і Анатолій пішов до першого класу. Після закінчення школи в 1939 році Папанов влаштувався ливарником у ремонтні майстерні 2-го Московського шарикопідшипникового заводу. Брав участь у художній самодіяльності — у театральній студії клубу заводу "Каучук". Коли почалася війна, пішов на фронт, де був тяжко поранений у ногу на Південно-Західному фронті. Після чого був демобілізований і восени 1942 року прибув інвалідом третьої групи додому, до Москви, до батьків. Вступив до Державного інституту театрального мистецтва імені А.

В. Луначарського на акторський факультет. У 1946 році, після закінчення інституту, разом зі своїм курсом вирушив створювати новий театр у Клайпеді, де зіграв першу театральну роль Сергія Тюленіна у виставі "Молода гвардія", поставленій до тридцятиріччя Жовтня. З 1948 року — актор Театру Сатири в Москві. У 1987 році поставив виставу за п'єсою Максима Горького «Останні». У 1967 році вперше озвучив Вовка у знаменитому мультсеріалі "Ну, постривай!" і став кумиром багатьох поколінь дітлахів. 3 серпня 1987 року — останній кадр у житті актора на зйомках фільму "Холодне літо 53-го" в Карелії. Увечері того ж дня Папанов поїхав до Москви. Анатолій Дмитрович помер у своїй московській квартирі від зупинки серця, приймаючи холодний душ. Похорон актора відбувся 11 серпня на Новодівичому кладовищі в Москві (ділянка № 10).