Albert Filosow wurde in der Stadt Swerdlowsk, RSFSR, UdSSR geboren. Verdienter Künstler der RSFSR (29.03.1983). Volkskünstler Russlands (29.08.1994). Er erlernte den Beruf des Drehers und arbeitete im Werk „Kugellager“. 1955 wurde er zusammen mit Juri Grebenschtschikow von einer Auswahlkommission in die Schule-Studio des Moskauer Künstlertheaters (Kurs von Wiktor Stanizyn) aufgenommen. Nach Abschluss des Studiums 1959 arbeitete er in der Spielzeit 1959–1960 am Moskauer Dramatheater namens Stanislawski bei M.M. Janschin und wurde für Rollen von E.P. Leonow eingesetzt. In den Jahren 1960–1961 arbeitete er am Theater namens Jermolowa. 1961 wurde er zur Armee eingezogen und diente zwei Jahre in einem Pionierbataillon.

1963 kehrte er an das Moskauer Dramatheater namens Stanislawski zurück (bis 1984, formell bis 1990 geführt). Er arbeitete mit M.O. Knebel und A.A. Popow und spielte in Aufführungen von Anatoli Wassiljew. Ab 1982 probte er mit Anatoli Wassiljew am Theater an der Taganka das Stück „Serso“ von Wiktor Slawkin, dessen Premiere im Juli 1985 stattfand. Ab 1989 spielte er in Aufführungen des Theaters „Schule des zeitgenössischen Stücks“. In den Jahren 1991–1995 war er (gemeinsam mit Armen Dschigarchanjan) Leiter eines Schauspielkurses am WGIK. Er unterrichtete an der RATI und war Professor am Lehrstuhl für Dramaregie (Meisterklasse von I.L. Reichelgaus).