Verdienter Künstler der RSFSR (1969). Volkskünstler der RSFSR (29.03.1977). Volkskünstler der UdSSR (31.01.1985). Seine ältere Schwester war die Schauspielerin Rimma Markova. In den Jahren 1931–1934 spielte er Kinderrollen in Aufführungen des Saratower Schauspielhauses, an dem sein Vater W. D. Markov als Schauspieler tätig war. In den Jahren 1945–1947 studierte er am Studio des Wologdaer Schauspielhauses. Er absolvierte das Studio am Moskauer Theater des Leninschen Komsomol (1950). Ab 1950 Schauspieler am Moskauer Theater des Leninschen Komsomol. Ab 1960 Schauspieler am Puschkin-Theater. Ab 1965 Schauspieler am Akademischen Theater Mossowet. In der Spielzeit 1986–1987 wechselte er zum Maly-Theater. Leonid Markov besaß eine einzigartige Stimme und Sprechweise. Wahrscheinlich wurde er deshalb häufig zur Arbeit beim Rundfunk eingeladen.

Etwa hundert Aufnahmen literarischer Werke und Hörspiele mit seiner Beteiligung aus einem großen Zeitraum von 1954 bis 1990 werden in der Sammlung des Rundfunkfonds aufbewahrt: „Im Winterwald“ von S. Bogomasow in der Rolle des Wolfs; „Im Gymnasium“ von N. Garin-Michailowski in der Rolle des Vaters; „Weiße Rosen, rosa Elefanten“ von W. Gibson in der Rolle des Henry Pulaski; „Das Schicksal“ von P. Proskurin in der Rolle des Makaschin; „Inspektor Tichonow“ von Arkadi und Georgi Weiner in der Rolle des Sharapow; „Koroljow und Gagarin“ von W. Gubarew in der Rolle des Koroljow; „Erste Liebe“ von I. Bunin in der Rolle des Vaters und andere Aufführungen. Der Schauspieler las literarische Werke von A. Puschkin, M. Lermontow, F. Dostojewski, I. Abaschidse, W. Astafjew, B. Wassiljew, R. Roshdestwenski.