Artista de Honor de la RSFSR (1969). Artista del Pueblo de la RSFSR (29.03.1977). Artista del Pueblo de la URSS (31.01.1985). Su hermana mayor fue la actriz Rimma Markova. Entre 1931 y 1934 interpretó papeles infantiles en las obras del Teatro Dramático de Sarátov, donde trabajaba como actor su padre V. D. Markov. Entre 1945 y 1947 estudió en el estudio del Teatro Dramático de Vólogda. Se graduó en el estudio del Teatro Lenin Komsomol de Moscú (1950). Desde 1950 fue actor del Teatro Lenin Komsomol de Moscú. Desde 1960 fue actor del Teatro A. S. Pushkin. Desde 1965 fue actor del Teatro Académico Mossovet. En la temporada 1986-1987 pasó al Teatro Maly. Leonid Markov poseía una voz y una manera de hablar únicas. Probablemente por eso lo invitaban con frecuencia a trabajar en la radio.

Cerca de cien grabaciones, que abarcan un amplio periodo desde 1954 hasta 1990, de obras literarias y radionovelas con su participación se conservan en la colección del fondo radiofónico: «En el bosque invernal» de S. Bogomazov, en el papel del Lobo; «En el gimnasio» de N. Garin-Mijailovski, en el papel del Padre; «Rosas blancas, elefantes rosas» de W. Gibson, en el papel de Henry Pulaski; «El destino» de P. Proskurin, en el papel de Makashin; «El inspector Tijonov» de Arkadi y Gueorgui Vainer, en el papel de Sharapov; «Korolev y Gagarin» de V. Gubarev, en el papel de Korolev; «Primer amor» de I. Bunin, en el papel del Padre y otras obras. El actor leía obras literarias de A. Pushkin, M. Lérmontov, F. Dostoievski, I. Abashidze, V. Astáfiev, B. Vasíliev, R. Rozhdéstvenski.