Eloğlu, dört yaşındayken İstanbul'dan Köln'e taşındı. "Şiir" adı, 1960'lı ve 1970'li yıllarda önemli edebiyat ödülleri kazanan ressam ve söz yazarı babası Metin Eloğlu'ndan (1927–1985) gelmektedir.

Köln'de liseyi bitirdikten sonra Eloğlu, Saarbrücken'deki Hochschule für Musik Saar'da dört yıl okudu. İlk görevleri onu Erlangen, Oberhausen ve Köln'deki tiyatrolara götürdü.

1991'de Doris Dörrie'nin yönettiği Happy Birthday, Türke! adlı ilk filminde rol aldı ve ilk sahnesinde Ulrike Folkerts ile oynadı. Eloğlu, 1993-1996 yılları arasında RTL dizisi Stadtklinik'te genç asistan doktor Dr. Nesrin Ergün rolüyle daha geniş bir izleyici kitlesi tarafından tanındı.

1997'nin sonunda Berlin'e taşındı. Televizyon ve sinema yapımlarının yanı sıra Düsseldorfer Schauspielhaus gibi tiyatrolarda da görev aldı; burada Antigone ve Yedi Kapıya Karşı Tebai oyunlarında oynadı.