Eloğlu a déménagé d'Istanbul à Cologne à l'âge de quatre ans. Le nom « Şiir » vient de son père, Metin Eloğlu (1927-1985), peintre et parolier, qui a reçu d'importants prix littéraires dans les années 1960 et 1970.

Après avoir obtenu son diplôme d'études secondaires à Cologne, Eloğlu a étudié pendant quatre ans à la Hochschule für Musik Saar à Sarrebruck. Ses premiers engagements l'ont ensuite conduite dans des théâtres à Erlangen, Oberhausen et Cologne.

En 1991, elle a tourné son premier film avec Kinofilm, Happy Birthday, Türke !, réalisé par Doris Dörrie, et a joué avec Ulrike Folkerts dans sa première scène. Eloğlu s'est fait connaître d'un public plus large entre 1993 et 1996 grâce à son rôle de jeune médecin assistante Dr. Nesrin Ergün dans la série Stadtklinik de RTL.

Fin 1997, elle s'est installée à Berlin. Elle a enchaîné les productions télévisuelles et cinématographiques ainsi que les engagements théâtraux, notamment au Düsseldorfer Schauspielhaus, où elle a joué dans Antigone et Les Sept contre Thèbes.