Елоглу переїхала зі Стамбула до Кельна у чотирирічному віці. Ім'я «Шіір» походить від її батька, Метіна Елоглу (1927–1985), художника й поета-пісняра, який у 1960-х і 1970-х роках був відзначений важливими літературними нагородами.

Після закінчення середньої школи в Кельні Елоглу чотири роки навчалася у Вищій школі музики Саарланду в Саарбрюккені. Її перші ангажементи потім привели до театрів в Ерлангені, Обергаузені та Кельні.

У 1991 році вона знялася у своєму першому фільмі «З днем народження, турку!» кінокомпанії Kinofilm, режисером якого була Доріс Деррі, а в її першій сцені грала Ульріке Фолькертс. Елоглу стала відомою ширшій аудиторії між 1993 і 1996 роками завдяки ролі молодої лікарки-асистентки докторки Несрін Ерґюн у серіалі RTL «Міська клініка».

Наприкінці 1997 року вона переїхала до Берліна. Далі були телевізійні та кіновиробництва, а також театральні ангажементи, зокрема в Дюссельдорфському драматичному театрі, де вона грала в «Антигоні» та «Семеро проти Фів».