Элоглу переехала из Стамбула в Кёльн в четырёхлетнем возрасте. Имя «Şiir» происходит от её отца, Метин Элоглу (1927–1985), художника и поэта-песенника, который был удостоен важных литературных премий в 1960-х и 1970-х годах.

После окончания школы в Кёльне Элоглу четыре года училась в Высшей школе музыки Саара в Саарбрюккене. Её первые ангажементы затем привели её в театры Эрлангена, Оберхаузена и Кёльна.

В 1991 году она снялась в своём первом фильме Kinofilm «С днём рождения, турок!» режиссёра Дорис Дёрри и сыграла свою первую сцену с Ульрике Фолькертс. Элоглу стала известна широкой публике в 1993–1996 годах благодаря роли молодого врача-ассистента доктора Несрин Эргюн в сериале RTL «Городская клиника».

В конце 1997 года она переехала в Берлин. Она участвовала в телевизионных и кино-постановках, а также в театральных ангажементах, в том числе в Дюссельдорфском драматическом театре, где играла в «Антигоне» и «Семеро против Фив».