Eloğlu se mudó de Estambul a Colonia cuando tenía cuatro años. El nombre "Şiir" proviene de su padre, Metin Eloğlu (1927–1985), pintor y letrista, que fue galardonado con importantes premios literarios en las décadas de 1960 y 1970.

Tras graduarse de la escuela secundaria en Colonia, Eloğlu estudió durante cuatro años en la Hochschule für Musik Saar en Saarbrücken. Sus primeros compromisos la llevaron luego a teatros de Erlangen, Oberhausen y Colonia.

En 1991, rodó su primera película con Kinofilm, Happy Birthday, Türke!, dirigida por Doris Dörrie y actuó con Ulrike Folkerts en su primera escena. Eloğlu se dio a conocer a un público más amplio entre 1993 y 1996 por su papel de la joven médica asistente Dra. Nesrin Ergün en la serie de RTL Stadtklinik.

A finales de 1997, se mudó a Berlín. Continuó con producciones de televisión y cine, así como con compromisos teatrales, entre otros en el Düsseldorfer Schauspielhaus, donde actuó en Antígona y Los siete contra Tebas.