Curran, İskoçya'nın Glasgow kentinde doğdu. Holyrood Secondary School adlı Katolik okulunda okudu. Kraliyet İskoç Müzik ve Drama Akademisi'nden (İngilizce: Royal Scottish Academy of Music and Drama) mezun oldu.

17 yaşında televizyonda oyunculuğa başladı. Geniş ekranda ilk kez 1994'te Ewan McGregor ile birlikte "Being Human" filminde göründü. Aynı yıl Danny Boyle'un ilk filmi "Shallow Grave"de yer aldı. 1995'te Michael Winterbottom'un "Go Now" adlı dramasında oynadı. Ayrıca 1999'da "The 13th Warrior" filminde savaşçı-ozan Wulf rolünde yer aldı.

Aktör için çıkış noktası, "Blade II" aksiyon filmindeki "Priest" adlı vampir rolü oldu. Daha sonra kült film "Underworld: Evolution"da Marcus Corvinus adlı bir vampiri daha canlandırdı. 2003'te Curran, "The League of Extraordinary Gentlemen"da Görünmez Adam rolünü aldı. Çekimler sırasında aktör, ekranda bulanık bir leke gibi görünen ve karakterin görünmezlik etkisini yaratan özel bir kostüm giydi.

2006'da Curran, "Red Road" filminde başrolü oynadı ve BAFTA Scotland ödülü ile Britanya Bağımsız Film Ödülü'nü kazandı.