Curran nació en Glasgow, Escocia. Estudió en la escuela católica Holyrood Secondary School. Se graduó en la Royal Scottish Academy of Music and Drama.

A los 17 años comenzó a actuar en televisión. En la pantalla grande apareció por primera vez en 1994 en la película «Being Human» junto a Ewan McGregor. Ese mismo año apareció en la película debut de Danny Boyle «Shallow Grave». En 1995 actuó en el drama de Michael Winterbottom «Go Now». También interpretó al guerrero-músico Weath en la película «The 13th Warrior» en 1999.

El papel que supuso su gran avance fue el del vampiro «Priest» en la película de acción «Blade II». Posteriormente volvió a interpretar a un vampiro, Marcus Corvinus, en la película de culto «Underworld: Evolution». En 2003 Curran obtuvo el papel del Hombre Invisible en «The League of Extraordinary Gentlemen». Durante el rodaje, el actor llevaba un traje especial que en pantalla parecía una mancha borrosa, creando el efecto de invisibilidad del personaje.

En 2006 Curran protagonizó la película «Red Road» y recibió el premio BAFTA Scotland y el Premio del Cine Independiente Británico.