Curran est né à Glasgow, en Écosse. Il a étudié à l'école catholique Holyrood Secondary School. Il est diplômé de la Royal Scottish Academy of Music and Drama.

À 17 ans, il a commencé à tourner pour la télévision. Il est apparu pour la première fois sur grand écran en 1994 dans le film « Being Human » aux côtés d'Ewan McGregor. La même année, il est apparu dans le premier film de Danny Boyle, « Shallow Grave ». En 1995, il a joué dans le drame de Michael Winterbottom « Go Now ». Il a également joué le rôle du guerrier-musicien Wiglaf dans le film « The 13th Warrior » en 1999.

La percée de l'acteur est venue avec le rôle du vampire « Priest » dans le film d'action « Blade II ». Plus tard, l'acteur a de nouveau joué un vampire, Marcus Corvinus, dans le film culte « Underworld: Evolution ». En 2003, Curran a obtenu le rôle de l'Homme invisible dans « The League of Extraordinary Gentlemen ». Pendant le tournage, l'acteur portait un costume spécial qui apparaissait à l'écran comme une tache floue, créant l'effet d'invisibilité du personnage.

En 2006, Curran a tenu le rôle principal dans le film « Red Road » et a reçu le prix BAFTA Scotland et le British Independent Film Award.