Mikhail Kozakov nació en la ciudad de Leningrado, RSFSR, URSS. Actor de teatro y cine, director, guionista y recitador. Artista Honrado de la RSFSR (1969). Artista del Pueblo de la RSFSR (18.12.1980). Su padre fue Kozakov Mikhail Emmanuilovich (1897-1954), conocido escritor, y su madre, Nikitina Zoya Aleksandrovna (1902-1973), estudiosa de la literatura. En el apartamento de los Kozakov, en el canal Griboyedov, solían reunirse Evgeny Shvarts, Mikhail Zoshchenko, Anatoly Mariengof, Boris Eikhenbaum, Anna Akhmatova y muchas otras celebridades literarias. En 1956 se graduó en la Escuela-Estudio del Teatro de Arte de Moscú. Ese año fue extraordinariamente feliz en la vida del joven actor: en verano se estrenó la película de Mikhail Romm «Asesinato en la calle Dante» y en otoño de ese mismo año interpretó el papel de Hamlet en el magnífico espectáculo de Okhlopkov en el Teatro Mayakovsky. De 1956 a 1959 fue actor del Teatro Mayakovsky. De 1959 a 1970 fue actor del Teatro Sovremennik. De 1971 a 1972 fue actor del Teatro de Arte de Moscú. En el Teatro de Arte de Moscú, Kozakov montó la obra de Leonid Zorin «La abuela de cobre», en la que el papel de A. S. Pushkin lo ensayaba Rolan Bykov. La obra fue cancelada y Kozakov se trasladó al Teatro de la Malaya Bronnaya, con A. Dunaev y A. V. Efros.

De 1972 a 1981 fue actor del Teatro de la Malaya Bronnaya. Según confesión del propio actor, se marchaba cuando lo consideraba necesario. Se marchaba después de haber aprendido algo fundamental de sus maestros. Tuvo tres: Nikolai Okhlopkov, Oleg Efremov y Anatoly Efros. De cada uno de ellos aprendió dirección. Su maestro principal fue Oleg Efremov, que fue uno de sus profesores en la Escuela-Estudio del Teatro de Arte de Moscú y director artístico del Sovremennik. El actor participó activamente en el cine, incluso en papeles vivos y de marcado carácter, en películas de diversos géneros. En 1978 debutó como director de cine al rodar para la televisión la película en dos partes «La estrella sin nombre», creada a partir de la obra de Mikhail Sebastian. En 1999, el actor, junto con el saxofonista Igor Butman, montó el espectáculo-concierto basado en los versos de Iosif Brodsky «Concierto para voz y saxofón». En 1997 se publicó el «Libro del actor» de M. M. Kozakov, en el que relata la vida vivida, las distintas épocas y las personas del arte en ellas. Falleció tras una larga enfermedad en una clínica de la ciudad israelí de Ramat Gan, cerca de Tel Aviv. Mikhail Kozakov está enterrado en Moscú, en el cementerio Vvedenskoye (parcela n.º 5), junto a sus padres, tal como legó el gran actor.