Mikhaïl Kozakov est né à Léningrad, RSFSR, URSS. Acteur de théâtre et de cinéma, metteur en scène, scénariste, récitant. Artiste émérite de la RSFSR (1969). Artiste du peuple de la RSFSR (18.12.1980). Son père était Kozakov Mikhaïl Emmanouïlovitch (1897-1954), écrivain connu, sa mère Nikitina Zoïa Alexandrovna (1902-1973), critique littéraire. Dans l'appartement des Kozakov sur le canal Griboïedov se rendaient Evgueni Schwartz, Mikhaïl Zochtchenko, Anatoli Mariengof, Boris Eïkhenbaum, Anna Akhmatova et bien d'autres célébrités littéraires. En 1956, il est diplômé de l'École-studio du Théâtre d'art de Moscou. Cette année fut exceptionnellement heureuse dans la vie du jeune acteur : en été sortit le film de Mikhaïl Romm « Meurtre rue Dante », et à l'automne de la même année, il interpréta le rôle de Hamlet dans la remarquable mise en scène d'Okhlopkov au Théâtre Maïakovski. De 1956 à 1959, il fut acteur du Théâtre Maïakovski. De 1959 à 1970, acteur du théâtre « Sovremennik ». De 1971 à 1972, acteur du Théâtre d'art de Moscou. Au Théâtre d'art de Moscou, Kozakov monta la pièce de Leonid Zorine « La Grand-mère de cuivre », où le rôle d'A. S. Pouchkine était répété par Roland Bykov. Le spectacle fut fermé et Kozakov rejoignit le Théâtre de la Petite Bronnaïa auprès d'A. Dounaïev et d'A. V. Efros. De 1972 à 1981, acteur du Théâtre de la Petite Bronnaïa.

De l'aveu de l'acteur lui-même, il partait lorsqu'il le jugeait nécessaire. Il partait après avoir appris quelque chose d'essentiel auprès de ses maîtres. Il en eut trois : Nikolaï Okhlopkov, Oleg Efremov et Anatoli Efros. Et auprès de chacun il apprit la mise en scène. Le maître principal fut Oleg Efremov, qui fut l'un de ses professeurs à l'École-studio du Théâtre d'art de Moscou et le directeur artistique du « Sovremennik ». L'acteur tourna activement au cinéma, notamment dans des rôles de caractère vifs et marquants, dans des films de genres divers. En 1978, il débuta comme réalisateur de cinéma en tournant pour la télévision le film en deux parties « L'Étoile sans nom », adapté de la pièce de Mikhaïl Sebastian. En 1999, l'acteur monta, avec le saxophoniste Igor Boutman, un spectacle-concert d'après les poèmes de Joseph Brodsky, « Concerto pour voix et saxophone ». En 1997 parut le « Livre d'acteur » de M. M. Kozakov, dans lequel il raconte sa vie vécue, les différentes époques et les gens de l'art qui les ont traversées. Il est décédé après une longue maladie dans une clinique de la ville israélienne de Ramat Gan, près de Tel-Aviv. Mikhaïl Kozakov est enterré à Moscou au cimetière de Vvedenskoïe (section n° 5) aux côtés de ses parents, comme l'avait légué le grand acteur.