Alexandre Borissovitch Godounov était un danseur de ballet et acteur de cinéma soviétique et américain. Artiste émérite de la RSFSR (1976). Il est né dans une famille d'ingénieur en construction. Ses parents, Lydia Nikolaïevna Stoudentsova et Boris Illarionovitch Godounov-Vodoukov, se sont rencontrés dans Leningrad assiégée, où Stoudentsova était restée après avoir terminé l'Institut des ingénieurs des transports ferroviaires de Leningrad, tandis que Godounov-Vodoukov reconstruisait des bâtiments et des infrastructures détruits par les bombardements. Un an après la guerre, leur famille, avec leur premier-né Oleg, fut envoyée à Sakhaline, à Ioujno-Sakhalinsk, où naquit en 1949 leur deuxième enfant, Alexandre. Lorsqu'Alexandre Godounov eut trois ans, ses parents divorcèrent. Sa mère emmena les enfants chez son frère à Riga.

En 1958, il entre à l'École de chorégraphie de Riga. Il étudie dans la même classe que Mikhaïl Barychnikov. Il est diplômé de l'école en 1967, dans la classe des pédagogues Juris Kapralis et Arturs Ēķis. Tout au long de sa vie, Godounov entretient des relations amicales avec Juris Kapralis. Le 23 août 1979, lors d'une tournée du Théâtre Bolchoï à New York, Godounov, âgé de 29 ans, demande aux autorités américaines l'asile politique. L'avion transportant l'épouse de Godounov, Lioudmila Vlassova, est retenu par les autorités américaines juste avant son départ pour Moscou, et le Département d'État américain exige des preuves que Vlassova retourne volontairement en URSS.

À la suite de cela, les dirigeants de l'URSS et des États-Unis, Léonid Brejnev et Jimmy Carter, furent impliqués dans l'incident. Finalement, au bout de trois jours, l'avion à bord duquel se trouvait Vlasova fut autorisé à rejoindre l'URSS. Inspiré de ces événements, le film « Vol 222 » sortit en URSS en 1985 ; son intrigue était fondée sur des faits réels, mais adaptée (des sportifs y remplaçaient les danseurs de ballet), et un autre texte, souvent cité, fut également écrit. Durant cette période, il séjourna quelques jours chez des amis de Joseph Brodsky. En 1982, leur divorce fut officialisé par l'intermédiaire de l'ambassade. En février 1980, Godounov devint premier danseur (principal dancer) de la troupe de l'American Ballet Theatre, dirigée par Lucia Chase.

Sa première représentation a eu lieu le 11 février 1980 lors d'un gala anniversaire à Chicago, où il a dansé le pas de deux du ballet « Don Quichotte » avec Natalia Makarova. Après la fin de la saison au Metropolitan Opera, le 12 juin 1982, Godounov décida de quitter le théâtre de ballet. Son contrat avec le théâtre ne fut pas renouvelé en raison de désaccords avec le nouveau directeur de la troupe, Mikhaïl Barychnikov, qui avait pris ce poste le 1er septembre 1980. Pendant un certain temps, Godounov se produisit avec sa propre troupe. En tant qu'étoile invitée, il fit de nombreuses tournées aux États-Unis, au Canada, en Amérique latine, en Australie, en Israël, en Europe et au Japon.