Народився 7 лютого 1972 року в Уругваї в сім'ї оперного співака. Дитинство провів в Австралії, а коли Анхелю було 11 років, сім'я Бунані переїхала до Ізраїлю.

Анхель професійно займався футболом, а також працював моделлю в Ізраїлі. Окрім кар'єри в кіно та на телебаченні, Бунані займається музикою: актор чудово співає та самостійно пише тексти пісень. У 2012 році його поп-гурт Project Passport випустив альбом «State of Grace», що складається з шести пісень.

Актор любить подорожувати, говорить кількома мовами та захоплюється образотворчим мистецтвом.

19 червня 2014 року Бунані одружився з Андреа Лейтерсдорф. У червні 2018 року в пари народився син.