Дмитро Власкін народився в сім'ї лікарів. Його мама була педіатром, батько працював на «швидкій допомозі». Коли хлопчик почав займатися тенісом, його батько став тренером з тенісу. А коли Дмитро вступив до театрального вишу, його мама теж вступила навчатися до театрального вишу і стала режисером. Власкін готувався до кар'єри спортсмена. Один з американських вишів у Південній Кароліні запросив його виступати за свою команду. У 16 років Дмитро поїхав до США: вивчати психологію та брати участь у змаганнях за честь вишу. Однак після четвертого курсу кинув університет і вступив до Школи-студії МХАТ, до майстерні Ігоря Золотовицького. Він приїхав до Петербурга, в гості до двоюрідної сестри, яка навчалася на акторському, і опинився на репетиції вистави «З коханими не розлучайтеся» за однойменною п'єсою Олександра Володіна. Перебуваючи в залі, він став свідком чуда: режисер показав акторці, як краще зіграти один момент, і акторка змінилася. Після Школи-студії Дмитра прийняли до стажерської трупи МХТ. Через два роки він перейшов до театру ім. Пушкіна. Грати в серіалах Дмитро почав ще під час навчання. У 2013 він з'явився в «Студії 17». Наступного року вийшов фільм «Веселі хлопці». У 2014 Дмитро Власкін працював у міні-серіалі «У сузір'ї Стрільця», присвяченому «російському Пеле», футболісту Едуарду Стрєльцову. У 2016 вийшли фільми за участю Дмитра: «Червоний» і «Еластіко». Потім він знявся в комедійному серіалі «Привид опера». Дмитро продовжив зніматися у «Фізруку». Також він став футболістом збірної в серіалі «Велика гра» на СТС. І ще одну футбольну роль отримав у серіалі «Я – тренер!». У 2021 на екрани телеканалу «Росія» вийшов серіал «Господиня гори», де Власкін виконав роль одного з братів. Дмитро знайшов дружину в Школі-студії МХАТ: Олександра Кузенкіна навчалася паралельно, на курсі Костянтина Райкіна. Актори одружилися в 2014. У 2017 розлучилися, але Дмитро не афішував це.

У жовтні 2018 стало відомо про весілля Дмитра Власкіна та Анни Бегунової, зірки серіалу «Кухня», чиє розлучення з актором Сергієм Лавигіним також не афішувалося. Восени 2019 у подружжя народилася дочка Лукер'я. Щасливу подію зіркові батьки деякий час приховували від ЗМІ, але згодом Власкін поділився радісною новиною в одному з інтерв'ю.